【引用】代数几何学习经验ZZ
2012-05-09 09:19:10| 分类：
群：终极理论之梦
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代数几何学习经验(ZZ)
古典代数几何起源于19世纪末，20世纪初得到充分的发展。这篇帖子没有借助任何参考书目，仅仅是我头脑中的记忆堆积出来的，因此，如果有不同理解，或者我讲错了，请见谅。因为我忘了很多了。
古典代数几何的发展主要是仿射簇和投射簇的研究，以及后来渐渐发展的代数簇。直到现在，代数簇理论仍然是非常有用的方法，所以喜欢代数几何的不要盲目的崇尚现代代数几何理论，因为概型的直观性要大大少于代数簇。
最先引起我们注意的是仿射簇（affine variety），用几何的语言叙述，那是affine space An里面由一些代数方程的公共零点集(zero locus set)。因此我们考虑An上的代数方程构成的多项式环k[x1,..xn]及其理想，容易定义V:{I/I为理想}->An 为公共零点集， I:An->{I/I为理想} 为生成理想。 （k为代数闭域！）
我们得到的第一个重要理论是nullstellensatz定理（零点定理）：I(V(I))=rad(I) (即I取radical)这个使得我们将理想和代数集一一对应。另一个较弱的形式是说对于任何极大理想m，k[V]/m总是k的代数扩域，由于我们已经假设k是代数闭的，因此k[V]/m同构于k，所以任何仿射簇V，k[V]总是k和m的直和（作为k模），这是我们研究局部性质的基础。
我们不能总是将V作为嵌入在放射空间的子集来看待，我们需要更本质更内蕴的方法。（我认为这是很重要的数学思想，寻找内蕴的性质）现在大部分参考书采用的方法是给与一个structure sheaf来定义。于是，我们说一个affine variety，总是指一个ringed space(具有层结构的拓扑空间)。通过一系列形式推导（具体看任何一本参考书），我们得到了一个很漂亮的最基本的定理：
affine variety范畴反变(contravariant)等价于affine k-algebra范畴。
范畴等价意味着我们可以抛开几何，只看代数范畴，可以弄清全部具有范畴性质的几何结构（比如product,coproduct，zariski拓扑结构，维度等）特别的，我们观察monic和epic可以发现，代数簇间一个象稠密的映射是epic，对应一个单代数同态，同样，代数簇间一个open immersion是monic，对应一个满代数同态。
更广泛的，我们不仅考虑投射簇，考虑更一般的代数簇，使得投射簇作为它的特例。我们定义：一个代数簇就是一个T0 ringed space，在每一点拥有一个开集ringed isomorphic to an affine variety.这个定义显然包含了投影簇，于是我们利用类似的方法可以得到大量投影簇的性质和定理。
最后，我想说的是，通过古典代数几何的发展，我们第一次得到代数和几何的紧密交融，几乎全部交换代数定理都有明显的几何意义，比如noether正规化定理意味着任何不可约仿射簇能够满射到同等维度的放射空间，going-up,going-down定理，zariski主要定理（都是重要的定理）的几何解释也是明显的。不停的交换“代数和几何的观点”有助于融合它们，因为它们基本上是交汇的。
借用eisenbud交换代数书的开篇语作为结束：algebra is written geometry, geometry is drawn algebra. (本人水平有限，请不要过于苛责,哈。)
强烈推荐一本
[Iversen]的cohomology of sheaves
非常强悍的工具，其他书里很多大定理可以象切豆腐一样搞定。
看完后能够让你手中的剑变得锋利无比。
这个帖子已被 huzhengyu 于 2006年11月09日 16时56分 编辑
概型，层论和平展上同调
同古典代数几何帖子一样，这也是我个人的记忆堆积出来的，我尽量写的更好一点，如果有错误和偏见，望见谅，这只是属于我自己个人的一篇短文。
在grothendieck创造scheme之前，sheaf theory已经有了巨大的进步，sheaf cohomology被完好的定义出来。这对于上同调理论是一个巨大的进步，和之前的de rham cohomology, cech cohomology, cellular cohomology, singular cohomology可以被极好的统一在sheaf里面，特别的，任给一个sheaf能够构造一个cohomology，这使得上同调变得象函数一样重要且可构造。构造上同调已经成为一种数学思维，如algebraic K－theory等。
简单说一下定义，对于C，D两个范畴，定义presheaf范畴为D^C^op，就是C^op到D的函子范畴（functor category）。进一步，我们定义sheaf范畴。设C为grothendieck site(具有grothendieck topology的范畴)，则sheaf cat为presheaf cat的一个fully faithful subcat。其中的object满足0->F(U)->productF(Ui)-> productF(Ui fibre product(U)Uj)->0是正合的，当Ui是U一个covering。
在这里我们假设C是拓扑空间U的开集范畴，D是模范畴。
构造sheaf cohomology的关键一步：derived functor是什么？认识到最重要的一点是：sheaf exact是一个局部性质，而presheaf exact要更强，具有整体性质。所以对于一个sheaf I,我们构造一列injective sheaf sequence:
0 ->I->I1->…
（细心的人会发现，这其中需要定理enough injectives）
然而，0->I（U）－>I1（U）..不是exact的，因此我们就有了cohomology。
接下来，scheme的出现带来了层论的活跃，也把代数几何推到了新的高度。然而，grothendieck发现了尴尬的情况：
grothendieck theorem:scheme的coherent sheaf cohomology全部为0。
coherent sheaf是一种很好的sheaf，在affine的情形下，它相当于structure sheaf F和关于模M的constant sheaf(细心的人会发现这只能定义在irreducible space上)的一个张量积。
这说明了什么？很明显，这是zariski topology的不足造成的。因为这个拓扑太粗了。我们需要更精细的结构。一项浩大的工程被激发起来了，把sheaf定义到一个范畴上（我们前面已经这么做了，然而在那个年代还没有），并且从一个概型上诱导出一个grothendieck site，在此之上我们就得到了一种上同调，它被称为etale cohomology(平展上同调)。
这个名字的来源是grothendieck形容自己做数学的方式就像漫升的海洋，etale在法文中有缓慢涨潮的意思。他说，海洋的前进无声无息，好象什么事情都没有发生，什么都没有被打搅，海水是如此之远人们几乎听不到它。但结果它却包围了最顽固的物体，其渐渐变成了半岛，然后是岛屿，然后是小岛，最终被淹没了，就好象被无边无际伸展的大洋溶解了一样。这种形式化的思维正是他能够统治代数几何领域近12年的原因，并且在这之后，抽象化和形式化的浪潮越来越大。
上同调的计算是评价一个上同调的核心内容，在复代数几何的情况下，平展同调具有和作为复流形的同调相关性，特别的etale fundamental group和complex manifold fundamental group具有称为completion的一种关系。详细的内容可以看[milne]的网上讲义。
最后，给朋友们推荐两本书：
希望了解层论和上同调的，
[Iversen] cohomology of sheaves 是一本优秀的“层论使用手册”
希望了解抽象概型理论的，
[Hartchorne] algebraic geometry (chapter 2,3)
（基础不够的咨询 [shafarevich] basic algebraic geometry 2）
同调代数 范畴论 交换代数 然后就可以找本简单的来看了
看这些肯定是很花时间的 没办法
最快路径：
同调代数 GTM4 前10章
范畴论 GTM5 前8章
交换代数 Atiyah Macdonald 全
然后看 harris写的 GTM133 和shafarevich
我暂时想不出更快的 如果那些书看不懂 就找些基础书 另外一点点流形论 代数拓扑 谱序列和黎曼曲面也是必要的 至少要知道定义单值化定理 kunneth formula ，fiber product
另外，懂一点点示性类会让你读代数几何的例子更轻松点
怎样学习代数几何？(初级)
代数几何作为现代数学的核心分支，囊括了数论，复几何，流形，交换代数，同调，代数拓扑，谱序列等数学分支，几乎无所不包（universal），为了学习并精通这门课程，3－6年是必要的。因此这是一个艰苦的过程，但是通过一定量的练习，有一定数学基础的人还是能够学习的。
初级阶段：
需要交换代数和同调代数的基础([AM] [HS]等读完各一本)，有一些书籍是入门的，在这里 我强烈的推荐
[Harris]1992 Algebraic Geometry:A First Course
非常通俗的一本书，例子很多，如果没有足够的基础，不要随便跨越阶段！
另外，由于该书的理论较少，下面一本书可以做为补充
[Shafarevich] Basic Algebraic Geometry 非常容易阅读的书内容主要是古典代数几何的内容，另外，网上有[Gathman]的讲义，名字忘了，也是讲古典代数几何的。
接下来，我们用一些更现代的的语言。
[milne] Algebraic Geometry 网上的讲义，简洁并且容易阅读，需要一些较好的交换代数和域论，Galois theory(如[milne]的网上讲义)的知识
[Mumford] The Red Book 初级阶段的最后一本代数几何教程
另外 为了中期的准备 代数拓扑(如[Hatcher][Rotman][Fulton][May],四选一，最后一本需要很好的同调代数和范畴论，如GTM5[MacLane]，才能够阅读)
示性类也是必要的，这里非常推荐[Milnor]的经典教材Characteristic Classes，还有[Hatcher]的网上讲义。重点要看陈类。
这里我建议把所有列的书看完，因为这是很必要的。最好能把所有习题做完。另外，我尽可能的列网上的讲义是因为他们对所有人免费，并且持续更新，错误较少。
好了，喜欢代数几何的朋友们，开始学习把，如果基础不够的别忘了先补交换代数和同调代数啊。
中级教程的帖子很快我会写出来。
交换代数：针对代数几何的学习路径
交换代数的两个主要的动机是代数几何和代数数论。我先发一篇针对代数几何的。事实上，代数几何现在已经包含代数数论的绝大多数内容。
[Atiyah&McDonald] An Introduction to Commutative Algebra 入门最常用的文献 集中的下面那些讲义最主要的东西，习题非常多
[Bourbarki] 法文的名字 忘记了 也很不错 内容翔实 60，70年代的大作
[Eisenbud] Commutative Algebra:A view toward algebraic geometry 特点是很多讲构造的动机，是为了和[Hartshorne]（1977）的代数几何配套。
[Matsumura] Commutative Algebra中等水平的教材 长度适中 又很好的几何化
[Matsumura] Local Ring Theory 需要[AM]作为基础
[Nagata] Local Rings 简洁 但比较难读
[Serre] Local Algebra 简单的入门书 重点是同调方法
建议是如果学代数几何最好都看看，不学的话第一本看完也差不多了。
利用同调对于证明The Jacobian Conjecture的想法
我自己有一个很有趣的想法，就是利用上同调的工具来证明The Jacobian Conjecture，其中核心的想法是构筑所谓的topoids groupoids homotopy of topoids等另外还涉及category和representable functor。有兴趣的朋友可以来交流
需要阅读的材料除了猜想本身的文献，还有：
EGA1(elements de geometrie algebrique) SGA1 SGA4(seminaire de geometrie algebrique) 和[hartshorne]的二，三章 [milne] etale cohomology
如果大家讨论成功的话，我们共同以笔名发表
一个新课题：同伦代数
同调代数无与伦比的成功促使Quillen思考另一类代数拓扑的重要结构：同伦论。一维同伦群我们知道就是所谓的基本群，是一个非常好的量。为什么好呢？
1functorial
2geometric intuition
详细的见论坛另一篇贴我的数学方法，这两个条件决定了基本群函子pi是性质非常好的构造，但是不够强，因此我们考虑同调论，同调的直观性要弱很多。
还有一类构造称为高维同伦群，现在对这个的研究比较艰难，这也是促进同伦代数发展的一个动机。
但是同伦代数的难度远远大于同调，因为同调结构是天生有很多代数的样子，可是同伦是拓扑结构，因此从范畴论的角度来考虑就相当难了。后来我们有了一个方法，cofibrant和fibrant（和我们今天学习的顺序相反，历史上是fibrant先出现的）结构。在这个结构上，Quillen构筑了同伦代数的雏形，这门学科沉寂达10多年，最近开始热门起来了，而且在K理论和多个代数结构中都体现出威力。
不过和它的初衷不同，同伦代数在代数几何中的应用已经远远超过代数拓扑本身了。不过在我看来这是个好现象，进一步现实了现代数学的语言是有可能统一的，尽管需要时间。
好了，介绍就到这里，打击有兴趣的快点去学把，感受那份继承Grothendieck的优美数学。
同调代数的入门途径
同调的方法自从代数拓扑中引进之后已经成为现代数学的核心方法，我介绍几本书供大家参考。
[Hilton&Stambach]A Course in Homological Algebra GTM4不错的入门书重点是module范畴。
[Osbourn]Basic Homological Algebra GTM196喜欢代数几何的可以看这本 上手很快并且后半部分是抽象同调理论
[Eilenberg]Homological Algebra 抽象同调代数 建立在Abelian Category上面的
[Iversen] Cohomology of Sheaves 层的上同调，一本使用手册，重点在应用，强烈推荐。
[Schapira] Categories and Homological Algebra 一本范畴和同调融合，从范畴观点看同调的小册子。
[Weibel] An Introduction to Homological Algebra 常用的参考书，最好应该看一遍的。
[Gelfrand] A Metheods in Homology 名字有点忘了 比较难的书 我没有看过不能评价
大家自己看吧，入门的话就GTM4比较好把，初等代数几何的话GTM196 如果是EGA等高难度的代数几何，Iversen的书是必要的，如果可能的话最好能懂抽象的层（比如[Kashiwara&Schapira]Categories and Sheaves 06年4月的新书难度稍大 内容过于抽象）
一个新课题：同伦代数
同调代数无与伦比的成功促使Quillen思考另一类代数拓扑的重要结构：同伦论。一维同伦群我们知道就是所谓的基本群，是一个非常好的量。为什么好呢？
1functorial
2geometric intuition
详细的见论坛另一篇贴我的数学方法，这两个条件决定了基本群函子pi是性质非常好的构造，但是不够强，因此我们考虑同调论，同调的直观性要弱很多。
还有一类构造称为高维同伦群，现在对这个的研究比较艰难，这也是促进同伦代数发展的一个动机。
但是同伦代数的难度远远大于同调，因为同调结构是天生有很多代数的样子，可是同伦是拓扑结构，因此从范畴论的角度来考虑就相当难了。后来我们有了一个方法，cofibrant和fibrant（和我们今天学习的顺序相反，历史上是fibrant先出现的）结构。在这个结构上，Quillen构筑了同伦代数的雏形，这门学科沉寂达10多年，最近开始热门起来了，而且在K理论和多个代数结构中都体现出威力。
不过和它的初衷不同，同伦代数在代数几何中的应用已经远远超过代数拓扑本身了。不过在我看来这是个好现象，进一步现实了现代数学的语言是有可能统一的，尽管需要时间。
好了，介绍就到这里，打击有兴趣的快点去学把，感受那份继承Grothendieck的优美数学。
什么是同调?
同调homology
首先确定一个范畴C,假设我们需要构筑一类关于C的上同调群,令G为群范畴(或某个阿贝尔范畴,如模范畴等)
我们通过构筑一个入射(或投射,如果是构筑同调)正合列生成函子F:C->C[ch] 一个非正合函子S:C->G
I为C中一个物体.则通过函子F和S[ch] I-> {I->I1->I2->…}-> {G->G1->G2->..} 则H0(I)=im(i0)/ker(i1)… Hn(I)=im(in)/ker(in+1)
其中im_=ker(cok_)=cok(ker_)
接下来举个具体例子:拓扑空间层的上同调
令F为拓扑空间X上的一个层,S为F打到F(X)的函子,最后获得的上同调是容易看出的.
另外一提的是如果X是光滑流形M,F为光滑函数层,最后获得的上同调是De Rham cohomology（这就是从另一个角度解释微分几何的一个重要定理：de rham上同调与微分结构无关，只与拓扑结构相关）
同调的方法自从代数拓扑中引进之后已经成为现代数学的核心方法，我介绍几本书供大家参考。
[Hilton&Stambach]A Course in Homological Algebra GTM4不错的入门书重点是module范畴。
[Osbourn]Basic Homological Algebra GTM196喜欢代数几何的可以看这本 上手很快并且后半部分是抽象同调理论
[Eilenberg]Homological Algebra 抽象同调代数 建立在Abelian Category上面的
[Iversen] Cohomology of Sheaves 层的上同调，一本使用手册，重点在应用，强烈推荐。
[Schapira] Categories and Homological Algebra 一本范畴和同调融合，从范畴观点看同调的小册子。
[Weibel] An Introduction to Homological Algebra 常用的参考书，最好应该看一遍的。
[Gelfrand] A Metheods in Homology 名字有点忘了 比较难的书 我没有看过不能评价
大家根据自己需要看吧，入门的话我个人觉得GTM4比较好，初等代数几何的话GTM196（我有习题答案，自己做的）如果是EGA等高难度的代数几何，Iversen的书可能是必要的，如果可能的话最好能懂点抽象的层（比如[Kashiwara&Schapira]Categories and Sheaves 06年4月的新书难度稍大 内容过于抽象 我根本没法看）
交换代数的两个主要的动机是代数几何和代数数论。我先发一篇针对代数几何的。事实上，代数几何现在已经包含代数数论的绝大多数内容。
[Atiyah&McDonald] An Introduction to Commutative Algebra 入门最常用的文献 集中的下面那些讲义最主要的东西，习题非常多
[Bourbarki] 法文的名字 忘记了 也很不错 内容翔实 60，70年代的大作 不过我没有能力读法文书
[Eisenbud] Commutative Algebra:A view toward algebraic geometry 特点是很多讲构造的动机，是为了和[Hartshorne]（1977）的代数几何配套。经常看了就忘的人（比如我）适合这本，因为几何背景较多。
[Matsumura] Commutative Algebra中等水平的教材 长度适中 又很好的几何化 我正在看
[Matsumura] commutative Ring Theory 需要[AM]作为基础
[Nagata] Local Rings 简洁 但比较难读 我没有能读懂
[Serre] Local Algebra 简单的入门书 重点是同调方法
建议是如果学代数几何最好都看看，除AM外可以不做习题。
[Atiyah&McDonald] 够了，把习题做70%左右，就去读Hartshorne.
[Bourbarki] Element de mathematique, Livre *, Algebre Commutative 如果没记错的话，这个是字典，不要读
[Eisenbud] 这本书太长了，适合用来查字典，其实学了一些基本的代数几何以后，这书可以用来算算例子
[Matsumura] Commutative Algebra 字典，读[Ha]时查下，不多微分那一带要读一些
[Matsumura] Commutative Ring Theory 好像名字是这个，这书太强了，读起来有自虐的感觉……
[Serre] Local Algebra Serre的书是用来享受的，太完美了
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