外代数
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在数学上，给定向量空间V的外代数(英文：exterior algebra)，也称格拉斯曼代数(Grassmann algebra)，是特定有单位的结合代数，它包含V为一个子空间。它记为 Λ(V) 或 Λ?(V)而它的乘法，称为楔积或外积，记为∧。楔积是结合的和双线性的；其基本属性是它在V上交替：
，对于所有向量
这表示
，对于所有向量
，以及
，当
线性相关时。注意这三个性质只对 V 中向量成立，不对代数Λ(V)中所有向量成立。
外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。Λ(V)的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示，请参看下文。
形式为v1∧v2∧…∧vk的元素，其中v1,…,vk在V中，称为k-向量。所有k-向量生成的Λ(V)的子空间称为V的k-阶外幂记为Λk(V)。外代数可以写作每个k阶幂的直和：
该外积有一个重要性质，就是k-向量和l-向量的积是一个k+l-向量。这样外代数成为一个分次代数，其中分级由k给出。这些k-向量有几何上的解释：2-向量u∧v代表以u和v为边的带方向的平行四边形，而3-向量u∧v∧w代表带方向的平行六面体，其边为u, v, 和w。
外幂的主要应用在于微分几何，其中他们用来定义微分形式。因而，微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。
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[编辑] 定义及运算律
外代数有很多种等价的定义，下面的定义是最简捷的一个。
定义: 设 V 是域 K 上的一个向量空间，令 I 为 V 的张量代数
的理想（即双边理想），该理想是由所有形如 
的张量生成的（其中 任意），则将 V 上的外代数 Λ(V) 定义为商代数 T(V) / I，即
为 V 的 k-阶外幂（kth exterior power of V），称 Λk(V) 中的元素为 k-向量（k-multivector）。
注：
，当且仅当 λ = 0 时才有 
，因此，可以把 Λ0(V) = K / I 等同于 K，并且把 
记为 λ；基于类似的原因，可以把 Λ1(V) = V / I 等同于 V，而且把 
记为 v。这一点是前面所讲的能够把 
记为 
的特例和前提。 的元素，例如，
也是 2-向量，其中 
. 的张量，例如， 
, 必定有 
和 
.
, 由于 
和 
以及 
, 显然有 
. 这就有一个推论：所有的二阶对称张量都在理想 I 中。，我们有 
, 这是因为等式右边的每一项都在 I 中。对张量 
的阶数作数学归纳法，则可以证明：
, 
，总有 
.
，则 
，α 作为等价类含有唯一的一个完全反对称的代表元 
，可以把这个 k-阶的完全反对称张量等同于 α, 详见后面的“反对称算子和外幂”一节。在有些文献中，k-向量就是以这种方式定义的。运算律 将上面的注中的内容用 
写出，则分别给出
(1) 
, 
证明如下： 作为等价类，我们从 
中任意挑选一个代表元 t，则 而且 α = [t]. 根据商代数的定义，
类似地，可以证明 
(2) 根据注 3.1 中的内容，显然有 
.
(3) 根据注 3.2 中的内容，对任意 
成立着
注：即使 K 的特征为 2，这个公式也是对的，只不过此时有 ? 1 = 1 而已。
(4) 根据商代数的定义以及张量代数的性质，运算 
满足结合律和分配律：
其中 
都是任意的。
以前两条性质为例，其证明如下：设张量 
分别是 α,β,θ 中的代表元，即 α = [a], β = [b], θ = [t], 则
(5) 根据上面的 (3) 和 (4)，用数学归纳法可以证明：
证明从略。
[编辑] 基底和维数
是k阶外幂Λk(V)的一个基。理由如下：给定任何如下形式的楔积
则每个向量vj可以记为基向量ei的一个线性组合;利用楔积的双线性性质，这可以扩张为那些基向量的楔积的线性组合。任何出现同样基向量两次的楔积为0；任何基向量出现的次序不正确的可以重新排序，在交换任何两个基向量的时候变换符号。一般来讲，最后基k-向量前的系数可以用通过积ei来描述vj的矩阵的子式来计算。
数一下基元素，我们可以看到Λk(V) 的维数是n 取 k。特别的有， Λk(V) = {0} 对于 k > n.
其维数等于二项式系数之和，也就是2n.
[编辑] 例子: 欧氏三维空间的外代数
考虑空间R3，其基为{i, j, k}。一对向量
的楔积为
其中{i ∧ j, i ∧ k, j ∧ k}是三维空间Λ2(R3)的基底。
再加一个向量
,这三个向量的楔积是
其中i ∧ j ∧ k是一维空间Λ3(R3)的基底。
空间Λ1(R3) 是R3, 而空间Λ0(R3) 是R。取所有四个子空间的直和得到一个向量空间Λ(R3)，这是八维向量空间
.那么，给定一对8维向量a和b, 其中a如上给出，而
,a和b的楔积如下(用列向量表达),
.容易验证8维楔积以向量(1,0,0,0,0,0,0,0)为乘法幺元。也可以验证该Λ(R3)代数的楔积是结合的(也是双线性的):
所以该代数是有单位且结合的。
[编辑] 叉乘的实质，赝向量与赝标量
对三维欧几里得空间 E3 可以建立一个线性同构 
如下：任取 E3 的右手的标准正交基 
，
，
，规定 φ 把 
，
，
分别映射为 ，，，则 φ 的定义与右手的标准正交基如何选取无关。
不难看出，对任意向量 
和 
，这个线性同构把 
映射为 
。这就是叉乘（向量积）的实质。例如，E3 中平行四边形 ABCD 的面积向量可以表示为 
，推广之后，高维黎曼流形 
中的紧的二维曲面 Σ 的面积用
来计算（其中 hab 是度规张量场 
在 Σ 上的诱导度规 
的坐标分量），由此可以看到外积和叉乘的渊源关系。
物理学中经常要区分的向量（极向量）与赝向量（轴向量）这两个概念，现在就容易理解了：从根本上说，向量是 E3 中的元素，所以在空间反演变换下会改变方向；而赝向量其实是 Λ2(E3) 中的元素，在空间反演变换下不会改变方向。
类似地，借助于右手的标准正交基，可以把 Λ3(E3) 中的元素 
映射为“标量" 
。但是，在空间反演变换下它就会原形毕露，所以称它为赝标量。真正的标量在空间反演下是不变的，而赝标量在空间反演下会改变符号。
把 2-向量 映射为向量 以及把 3-向量 
映射为一个实数 a 的映射实际上是一个叫做霍奇对偶的线性映射。
[编辑] 泛性质及构造
令V为一个域K（在多数应用中，也就是实数域）上的向量空间。Λ(V)是“最一般”的包含 V 的并有一个交替乘法在V上由单位的结合K-代数这个事实可以用如下的泛性质形式化的表达：
任给一个有单位的结合 K-代数 A 和一个 K-线性映射 j : V → A 使得 j(v)j(v) = 0 对于每个 v 属于 V 成立，则存在恰好一个由单位的代数同态f : Λ(V) → A 使得 f(v) = j(v) 所有 v 属于 V 成立。
要构造最一般的包含 V 的代数，而且其乘法是在 V 上交替的，很自然可以从包含 V 的最一般的代数开始，也就是张量代数 T(V)，然后通过合适的商来强制交替的性质。这样我们取 T(V) 中由所有形为 v?v的元素生成的双边理想 I，其中 v 属于 V，并定义 Λ(V)为商
（并且使用 ∧ 为 Λ(V)中的乘法的代号）。然后可以直接证明 Λ(V) 包含 V 并且满足上述泛性质。
如果不是先定义 Λ(V) 然后把外幂 Λk(V) 等同为特定的子空间，我们也可以先定义空间 Λk(V) 然后把它们合并成为一个代数 Λ(V)。这个方法在微分集合中常常用到，并在下节中有描述。
[编辑] 反对称算子和外幂
给定两个向量空间V和X，一个从Vk到X的反对称算子是一个多线性映射
使得只要v1,...,vk 是V中线性相关的向量，则
最著名的例子是行列式值，从(Kn)n到K的反对称线形算子。
映射
它关联V中的k个向量到他们的楔积，也就是它们相应的k-向量，这也是反对称的。事实上，这个映射是定义在Vk上的“最一般”的反对称算子：给定任何其它反对称算子f : Vk → X，存在一个唯一的线性映射φ: Λk(V) → X with f = φ o w。这个泛性质表述了空间Λk(V)并且可以作为它的定义。
所有从Vk到基域K的反对称映射组成一个向量空间，因为两个这样的映射的和、或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的。若V是有限维的，维数n，则该空间可以认同为Λk(V?)，其中V?表示V的对偶空间。特别的有，从Vk到K的反对称映射的空间是n取k维的。
在这个等同关系下，若基域是R或者C，楔积有一个具体的形式：它从两个给定的反对称映射得到一个新的反对称映射。设ω : Vk → K和η : Vm → K为两个反对称映射。和在多线性映射的张量积的情况一样，楔积的变量数是每个映射的变量数之和。它定义如下：
其中多线性映射的交替Alt定义为其变量的所有排列的带符号平均：
注意： 有一些书中楔积定义为
[编辑] 指标记法
[编辑] 微分形式
令 M 为一个微分流形。一个微分k-形式 ω 是 ΛkT?M（M 的余切丛的 k 阶外幂）的一个截面。等价的有：ω 是 M 的光滑函数，对于 M 的每个点 x 给定一个 Λk(TxM)?的元素。大致来讲，微分形式是余切向量的全局版本。微分形式是微分几何的重要工具，其中，它们被用于定义德拉姆上同调和亚历山大-斯潘尼尔上同调。
[编辑] 推广
给定一个交换环R和一个R-模M，我们可以定义和上文一样的外代数Λ(M)，它是张量代数T(M)适当的商。它会满足类似的泛性质。
[编辑] 物理应用
格拉斯曼代数在物理中有重要应用，它们被用于建模和费米子和超对称性相关的各种概念。
[编辑] 注释
[编辑] 相关课题
取自“http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%A4%96%E4%BB%A3%E6%95%B0”
霍奇对偶
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数学中，霍奇星算子（Hodge star operator）或霍奇对偶（Hodge dual）由苏格兰数学家威廉·霍奇（Hodge）引入的一个重要的线性映射。它定义在有限维定向内积空间的外代数上。
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[编辑] 维数与代数
霍奇星算子在 k-向量空间与 (n -k)-向量空间建立了一个对应。一个 k-向量在这个对于下的像称为这个 k-向量的霍奇对偶。k-向量空间的维数是
后一个空间的维数是
又由二项式系数的对称性，这两个维数事实上相等。两个具有相同维数的向量空间总同构；但不一定有一种自然或典范的方式。但霍奇对偶性利用了向量空间内积和定向，给出了一个特定的同构，因此在代数上这反应了二项式系数的性质。这也在 k-向量空间上诱导了一个内积。“自然”定义意味着这个对偶性关系在理论中可起几何作用。
第一个有趣的情形是在三维欧几里得空间 V。在这种情形，帕斯卡三角形相关行是
霍奇对偶在两个三维空间之间建立起一个同构，一个是 V 自己，另一个是 V 中两个向量的楔积。具体细节参见例子一节。叉积只是三维的特殊性质，但霍奇对偶在所有维数都有效。
[编辑] 扩张
由于一个向量空间上 k 个变量的交错线性形式空间自然同构于那个向量空间上的 k-向量空间的对偶，霍奇对偶也能对这些空间定义。与线性代数的大部分构造一样，霍奇对偶可以扩张到一个向量丛。这样的霍奇对偶特别常见的是在余切丛的外代数（即流形上的微分形式）上，可用来从外导数构造余微分（codifferential），以及拉普拉斯-德拉姆算子，它导致了紧黎曼流形上微分形式的霍奇分解。
[编辑] k-向量的霍奇星号的正式定义
一个定向内积向量空间 V 上的霍奇星算子是 V 的外代数上一个线性算子，将 k-向量子空间与 (n-k)-向量自空间互换，这里 n = dim V，0 ≤ k ≤ n。它具有如下性质，这些性质完全定义了霍奇星算子：给定一个定向正交基 
我们有
[编辑] 星算子的指标记法
使用指标记法，霍奇对偶由缩并一个 k-形式与 n-维完全反对称列维-奇维塔张量的指标得到。这不同于列维-奇维塔符号有一个额外因子 (det g)½，这里 g 是一个内积（如果 g 不是正定的，比如洛伦兹流形的切空间，则取行列式的绝对值）。
从而有
这里 η 是任意一个反对称 k 阶张量。利用在定义列维-奇维塔张量中同一个内积 g 上升和下降指标。当然也可以对任何张量取星号，所得是反对称的，因为张量的对称分量在与完全反对称列维-奇维塔张量缩并时完全抵消了。
[编辑] 例子
星算子一个常见例子是在 n = 3，可以做为 3 维向量与斜对称矩阵之间的对应。这不明显地使用于向量分析中，例如由两个向量的楔积产生叉积向量。具体地说，对欧几里得空间 R3，容易发现
和
以及
这里 dx、dy 与 dz 是 R3 上的标准正交微分1-形式。霍奇对偶在此情形显然对应于三维中的叉积。
当 n = 4 时，霍奇对偶作用在第二外幂（6 维）上是自同态。它是一个对合，从而可以分解为子对偶与反自对偶子空间，在这两个子空间上的作用分别为 +1 和 -1。
另一个有用的例子是 n = 4 闵可夫斯基时空，具有度量符号为 (+,-,-,-,) 与坐标 (t,x,y,z)，对1-形式有
对2-形式有
[编辑] k-向量的内积
霍奇对偶在 k-向量空间上诱导了一个内积，即在 V 的外代数上。给定两个 k-向量 η 与 ζ，有
这里 ω 是正规化的体积形式。可以证明 
是一个内积，它是半双线性的，并定义了一个范数。反之，如果在 Λk(V) 上给了一个内积，则这个等式可以做为霍奇对偶的另一种定义[1]。
本质上，V 的正交基元素的楔积组成了 V 的外代数的一个正交基。当霍奇星号扩张到流形上，可以证明体积形式能写做
其中 gij 是流形的度量。
[编辑] 对偶性
当作用两次时霍奇星号定义了一个对偶，不考虑符号的话，所得结果是外代数上一个恒等式。给定 n-维空间 V 上一个 k-向量 
，我们有
这里 s 与 V 上内积的符号有关。具体说，s 是内积张量行列式的符号。例如，如果 n = 4 时，若内积的符号是 (+,-,-，-) 或 (-,+,+,+) 则 s = -1。对普通的欧几里得空间，符号总是正的，所以 s = +1。在普通向量空间，这一般不是一个问题。当霍奇星号扩张到伪-黎曼流形上时，上面的内积理解为对角形式的度量。
[编辑] 流形上的霍奇星号
在一个 n-维定向黎曼或伪黎曼流形上每一点的切空间上可以重复如上构造，将得到 k-形式的霍奇对偶，是一个 n- k 形式。霍奇星号在流形上的微分形式上诱导了一个 L2-范数。对 Λk(M) 的空间截面 η 与 ζ，其内积可写做
（截面的集合通常记做 Ωk(M) = Γ(Λk(M))；里面的元素称为外 k-形式。）
更一般地，在非定向情形，我们可以定义 k-形式的霍奇星号维一个 (n - k)-伪微分形式；即取值于典范线丛的一个微分形式。
[编辑] 余微分
霍奇星号在流形上最重要的应用是用来定义余微分 δ。令
这里 d 是外导数。对黎曼流形 s = +1 。
而
相比于外导数，余微分不是外代数上的反导子。
余微分在是外微分的伴随：
这个恒等式是因为体积形式 ω 满足 dω = 0，从而
拉普拉斯–德拉姆算子由
给出，是霍奇理论的核心。它有对称性：
以及非负：
霍奇星号将一个调和形式变成调和形式。作为霍奇定理的一个推论，德拉姆上同调自然同构于调和 k-形式空间，从而霍奇星号诱导了上同调群之间一个同构
通过庞加莱对偶性，这给出了 Hk(M) 与它的对偶空间的一个典范等价。
[编辑] 三维中的导数
算子与外导数 d 的组合推广了三维经典算子 grad、curl 和 div。具体做法如下：d 将一个 0-形式（函数）变成 1-形式，1-形式变成 2-形式，2-形式变成 3-形式（应用到 3-形式变成零）。
1. 对一个 0-形式（ω = f(x,y,z)），第一种情形，写成分量与 
算子等价：
2. 第二种情形后面跟着 ，是 1-形式（ω = Adx + Bdy + Cdz）上一个算子，其分量是 
算子：
使用霍奇星号给出：
3. 最后一种情形，前面与后面都有一个 ，将一个 1-形式（ω = Adx + Bdy + Cdz）变成 0-形式（函数）；写成分量是 
算子：
这些表达式的一个好处是恒等式 d2 = 0，任何情形都成立，将
统一起来了。特别地，麦克斯韦方程组用外导数与霍奇星号表示时，有一个特别简单和优美的形式：
这里 
是四维洛伦兹时空中某个 2-形式，
是电流 3-形式。
[编辑] 注释
[编辑] 参考文献
取自“http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E9%9C%8D%E5%A5%87%E5%AF%B9%E5%81%B6”
的
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